Makalah Menentukan Kelipatan Persekutuan terKecil (KPK)

MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

DISUSUN OLEH

NUR  AMELIA  SANUSI  PUTRI (1405045041)

RIDANIA ISTIQOMAH (1405045076)

MATA KULIAH : MATEMATIKA SD DAN SMP

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MATEMATIKA

2014

SAMARINDA

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena pertolonganNya, makalah ini dapat diselesaikan dan diharapkan dapat bermanfaat bagi berbagai pihak. Tak lupa juga penulis mengucapkan terimakasih kepada ibu  Suriyati selaku dosen   Matematika SD/SMP yang telah memberikan  bimbingan dengan sebaik-baiknya.

Adapun tujuan dari penyusunan makalah ini yaitu memenuhi tugas mata kuliah Matematika SD/SMP. Selain itu, tujuan dari penyusunan makalah ini adalah memberi pengetahuan kepada pembaca mengenai tujuan dari mempelajari Persekutuan Faktor Terkecil (KPK)

Penulis mengharapkan kritikan dan saran dari berbagai pihak agar makalah ini dapat menjadi lebih baik dan bermanfaat bagi pembaca. Oleh karena itu, saran dan kritikan dari berbagai pihak sangat dibutuhkan.

Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi berbagai pihak sebagaimana yang diharapkan oleh Penulis.

Samarinda,  22  Februari 2015

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .....................................................................................  2

DAFTAR ISI .....................................................................................................  3

BAB I      PENDAHULUAN............................................................................. 4

1.1.      Latar Belakang.......................................................................... 4

1.2.      Rumusan Masalah..................................................................... 7

BAB II   PEMBAHASAN ................................................................................ 9

2.1.      Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)  ...................... 9

2.2.      Kelipatan dan kelipatan persekutuan......................................... 9

2.3.      Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)............... 10

BAB III   PENUTUP ......................................................................................  11

3.1.      Kesimpulan ............................................................................  11

3.2.      Saran ......................................................................................  12

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 13

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Pendidikan merupakan dasar utama bagi setiap orang. Terutama anak-anak sejak dini harus sudah di berikan pendidikan terutama pendidikan yang mencakup matematika dan bahasa Indonesia. Setiap pembelajaran pasti membutuhkan angka yang di ajarkan di matematika dan bahasa yang sudah jelas digunakan salah satunya dalam membaca. Dari penjelasan ini sudah sangat jelas pentingnya pendidikan matematika bagi setiap anak-anak.

Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berfikir dan berperilaku anak yang positif. Tatanan berfikir yang ingin dibentuk adalah kemampuan berfikir logis, kritis dan sistematis. Sehingga dari kemampuan berpikir ini akan mengarahkan setiap orang khususnya siswa berprilaku positif, terarah dan efektif.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir setiap orang. Oleh karena itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah tumbuh sejak usia dini.

Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan metode dan teknik-teknik yang bervariatif sehingga tidak monoton dan membosankan bagi anak-anak didik khususya anak-anak Sekolah Dasar (SD).

Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan. Pemahaman yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) yang merupakan materi yang diajarkan dari tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematika SMA.

1.2  RUMUSAN MASALAH

a.       Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ?

b.      Apa perbedaan kelipatan dan kelipatan persekutuan ?

c.       Bagaimana cara menentukan Kelipatan Pesekutuan Terkecil (KPK)?

1.3  TUJUAN

a.       Untuk memahami definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).

b.      Untuk memahami kelipatan dan kelipatan persekutuan.

c.       Untuk mengetahui cara menentukan kelipatan persekutuan terkecil  (KPK).

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) 

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah suatu konsep yang paralel dengan konsep faktor persekutuan terbesar (FPB), yang dikenal faktor persekutuan terkecil (KPK). Suatu bilangan bulat c disebut kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tak nol a dan b jika a c dan b c. Hal ini berarti pula nol adalah kelipatan persekutuan dari a dan b. Perlu diingat pula bahwa ab dan –(ab) adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, dan salah satunya positif. Dengan menggunakan prinsip terurut sempurna (well ordering principle), himpunan kelipatan persekutuan dari a dan b harus sebuah bilangan bulat terkecil; kita menyebutnya kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b, dan ditulis KPK(a, b).

Definisi :

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat tak nol a dan b, dilambangkan KPK(a, b), adalah bilangan positif m yang memenuhi:

(i) a | m dan b | m.

(ii) Jika a | c dan b | c dengan c > 0 maka m ≤ c.

Sebagai ilustrasi, kelipatan persekutuan positif dari –12 dan 30 adalah 60, 120, 180, … . Dengan demikian, KPK(-12, 30) = 60.

Dari diskusi terdahulu, kita dapat secara jelas menyatakan bahwa jika diberikan dua bilangan tak nol a dan b maka KPK(a, b) selalu ada, dan KPK(a, b) ab. Kelipatan suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis oleh bilangan tersebut. Misalnya himpunan 2 adalah {2, 4, 6, 8, 10} himpunan kelipatan dari 4 adalah {4, 8, 12, 16,……} kelipatan persekutuan adalah himpunan irisan dari himpunan-himpunan kelipatan. Mislnya dari himpunan kelipatan persekutuan 2 dan 4 adalah {4, 8, 12,……} dari himpunan itu anggota terkecilnya adalah 4, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK adalah anggota terkecil dari anggota himpunan kelipatan persekutuan). Jadi, Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah hasil perkalian dari sebuah faktor-faktor (prima) yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.

2.2       Kelipatan dan kelipatan persekutuan   

Mika dan Miko bersama-sama terdaftar sebagai siswa di suatu lembaga bimbingan belajar. Dalam lembaga bimbingan belajar tersebut, Mika memiliki jadwal untuk les matematika tiap 2 hari sekali, sedangkan Miko tiap 3 hari sekali. Apabila hari ini mereka bertemu dalam les matematika, berapa hari lagi mereka akan bertemu di les matematika berikutnya?

Untuk mengetahui kapan Mika dan Miko akan bertemu pada les matematika berikutnya, kita modelkan jadwal les mereka berdua sebagai berikut.

Dari tabel tersebut, kita dapat melihat bahwa Mika akan les pada 2, 4, 6, 8, 10, dan 12 hari berikutnya. Sedangkan Miko akan les pada 3, 6, 9, dan 12 hari berikutnya. Dari contoh ini kita dapat menyebut bahwa 2, 4, 6, 8, dan 10 merupakan kelipatan-kelipatan dari 2, sedangkan 3, 6, 9, dan 12 merupakan kelipatan-kelipatan dari 3. Jadi apakah yang dimaksud dengan kelipatan?

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli. Bilangan-bilangan hasil perkalian bilangan itu sendiri dengan bilangan cacah secara berurutan.

Contoh : kelipatan 2 = 2,4,6,8,10

Dari tabel di atas, kita juga dapat melihat bahwa Mika dan Miko akan bertemu les matematika pada hari ke-6 dan ke-12. Bilangan-bilangan 6 dan 12 ini merupakan kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari suatu bilangan yang sama dengan kelipatan bilangan lainnya.

Dapatkah kamu menyebutkan kelipatan-kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 selain 6 dan 12? Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 selain 6 dan 12 di antaranya adalah 18, 24, dan 30. Dari sini kita dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 jumlahnya sangat banyak sekali. Akan tetapi dari kelipatan-kelipatan persekutuan tersebut ada yang terkecil, yaitu 6. Bilangan 6 ini selanjutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 2 dan 3. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari beberapa bilangan adalah bilangan kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut yang paling kecil.

Setelah kita mengenal kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK, sekarang kita akan berlatih untuk menemukan KPK dari dua bilangan atau lebih. Seperti dalam menemukan FPB, KPK dapat ditentukan dengan cara mendaftar, faktorisasi prima, dan cara sengkedan.

2.3 Menentukan kelipatan persekutuan terkecil

1. Metode Irisan Himpunan
Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-kelipatan  positif  dari  bilangan  pertama  dan  bilangan  kedua. Kemudian kita tentukan  himpunan  persekutuan  kelipatan  dari  bilangan-bilangan  itu  dan akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari  p  dan q,  dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.
Contoh 1 :
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab :
Misalkan himpunan-himpunan  kelipatan  positif  dari  8  dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ………
K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ……
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :
K8 = K12 = 240, 480, 720 …..
Karena bilangan terkecil  dari  K8 dan K12  adalah 24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12) = 24.
Contoh 2:
Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
K40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480,…
K60 = 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,…
K80 = 80, 160, 240, 320, 400, 480,…
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah
K8 = K12 = 240, 480, 720,…
Karena bilangan terkecil dari K40 dan K60 dan K80 adalah 240, KPK dari 40, 60 dan 80 adalah 240 dan ditulis
KPK (40, 60, 80) = 240

Contoh 2.

Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.

Jawab.

Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50, dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.

K40 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440. 480, …

K60 = 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, …

K80 = 80, 160, 240, 320, 400, 480, …

Himpunan kelipatan persekutuannya adalah

K8 K12 = 240, 480, 720, …

Karena bilangan terkecil dari K40 K60 K80 adalah 240, KPK dari 40, 60, dan 80 adalah 240 dan ditulis,

KPK (40, 60, 80) = 240.

2. Menentukan KPK dengan cara mendaftar

Misalkan kita akan menentukan KPK dari 12 dan 18. Untuk menentukan KPK-nya, kita dapat mendaftar beberapa kelipatan dari kedua bilangan tersebut dalam tabel seperti berikut.

Dari tabel tersebut kita mendapatkan bahwa kelipatan dari 12 dan 18 di antaranya adalah 36, 72, dan 108. Sehingga, KPK dari 12 dan 18 adalah 36.

3. Menentukan KPK dengan Fakorisasi Prima

Sebelumnya kita telah menentukan KPK dari 12 dan 18 dengan menggunakan cara mendaftar. Sekarang kita akan menentukan KPK dari kedua bilangan tersebut dengan faktorisasi prima. Untuk menentukan faktorisasi prima dari 12 dan 18, kita dapat menggunakan pohon faktor.

Sehingga,

12=2²×3
18 = 2 × 3²

Setelah mengubah 12 dan 18 dalam bentuk faktorisasi primanya, selanjutnya kita akan tentukan KPK dari kedua bilangan tersebut. Bagaimana cara menentukan KPK dari beberapa bilangan apabila faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut diketahui?

KPK dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut dan dipilih pangkat yang paling tinggi.

Perhatikan bahwa 12 sama dengan 2 pangkat 2 dikali 3. Sedangkan 18 sama dengan 2 kali 3 pangkat 2. Sehingga semua faktor prima dari kedua bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Pangkat tertinggi dari 2 adalah 2 dan pangkat tertinggi dari 3 adalah 2. Sehingga KPK dari 12 dan 18 adalah 2² × 3² = 36.

4. Menentukan KPK dengan Cara Sengkedan

Pada dua contoh sebelumnya, kita telah mencari KPK dari 2 bilangan. Kali ini kita akan mencoba untuk menentukan KPK dari 3 bilangan, yaitu 1.575, 2.625, dan 6.615. Untuk menentukan KPK dari tiga bilangan tersebut dengan cara sengkedan, perhatikan gambar berikut.

Aturan dalam cara sengkedan untuk menentukan KPK hampir sama dengan menentukan FPB. Apabila FPB dari beberapa bilangan merupakan perkalian dari bilangan prima pembagi yang dilingkari, untuk menentukan KPK kita harus mengalikan semua bilangan prima pembagi tersebut. Sehingga KPK dari 1.575, 2.625, dan 6.615 adalah 3³ × 5³ × 7² = 165.375.

5.  Algoritma Euclide

Untuk menentukan KPK(a, b) dengan cara ini, kita memanfaatkan pengetahuan kita tentang algoritma Euclide untuk menentukan FPB(a, b) dan hubungan antara KPK dan FPB, yaitu FPB(a, b). KPK(a, b) = ab untuk bilangan-bilangan bulat positif a dan b.

Cara ini sangat berguna untuk mencari KPK dari dua buah bilangan a dan b jika dengan faktorisasi prima tidak mudah untuk ditentukan. FPB (a, b)-nya.

Contoh 5.

Tentukan KPK (731 , 952).

Jawab.

Dengan menggunakan algoritma Euclide, diperoleh

FPB(731 , 952) = 17.

Dengan sifat 1, diperoleh

KPK (731 , 952) =   = 40936.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

A.  Definisi kelipatan ialah Kelipatan Persekutuan Terkecil dari dua bilangan bulat tak nol a dan b, dilambangkan KPK(a, b), adalah bilangan positif m yang memenuhi:

(i) a | m dan b | m.

(ii) Jika a | c dan b | c dengan c > 0 maka m ≤ c.

B.  Perbedaan kelipatan dan kelipatan persekutuan ialah Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli. Bilangan-bilangan hasil perkalian bilangan itu sendiri dengan bilangan cacah secara berurutan. Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari suatu bilangan yang sama dengan kelipatan bilangan lainnya.

C.  cara-cara menentukan Kalipatan Persekutuan Terkecil (KPK) yaitu dengan cara irisan himpunan, faktorisasi prima, cara mendaftar, Cara Sengkedan, Algoritma Euclide

3.2    Saran

1.   Anak-anak terlebih dahulu di beri penjelasan mengenai proses belajar dan pentingnya belajar karena merupakan suatu pembelajaran sebagai ilmu pengetahuan.

2.  Agar  pengajar  lebih  meningkatkan dan  memprogramkan untuk anak-anak teknik pembelajaran yang benar-benar mudah sehingga akan dengan cepat di mengerti.

 3.  Orang tua perlu meninjau dan mengawai dengan ketat jalannya  proses belajar anak-anak dirumah maupun di sekolah.

DAFTAR PUSTAKA

Sinaga Mangatur.2006.Terampil berhitung matematika untuk SD kelas IV. Erlangga. Jakarta.

Sudwiyanto,dkk.2001.Buku Saku Pintar Matematika SD Kelas 4, 5, & 6.Jakarta.Erlangga

http://guru.or.id/pembelajaran-kpk-dan-fpb.html

https://yos3prens.wordpress.com/2013/06/10/kelipatan-kelipatan-persekutuan-dan-kpk/